মজার গণিত – তিন কোণে দুই সমকোণ

আমরা অনেকেই ছোটবেলা থেকেই গণিতের নাম শুনলেই এক ভয়াবহ আতঙ্কের মধ্যে পড়ে যাই। কোনরকমে হাচড়ে পাচড়ে মাধ্যমিক পাশ করতে পারলেই আর গণিতের দিকে ফিরে তাকাই না। অবশ্যই সবাই এই গোত্রের নয়,যারা এর বিপরীত তাদের আবার সমাজে অবস্থান একটু উঁচুতে।সবাই তাদের একটু সমীহ করেন তাদের গণিত দক্ষতার জন্য। আমরা আমাদের এই গণিতভীতি থেকে সহজেই বের হতে পারি যদি গণিতের মাঝেও মজা খুজেঁ নিতে পারি। গণিত মানেই সম্পাদ্য উপপাদ্য মুখস্ত করা নয়, গণিত মানেই বীজগাণিতিক সূত্র মুখস্ত করা নয়। গণিত দিয়ে যদি বিভিন্ন বাস্তব সমস্যা সমাধানের পথ দেখান হয়, কিংবা কোনো মজাদার ঘটনা ব্যাখ্যা করা হয়, তাহলে গণিতে আর ভয় পাবার কোন কারন থাকবে না। আমি এখন থেকে গণিতের উপর একটা সিরিজ লিখতে চাইছি, যাতে গণিতের বিভিন্ন মজার সমস্যা থেকে শুরু করে বিভিন্ন বাস্তবভিত্তিক প্রমাণ থাকবে।

আসেন, তাহলে শুরু করা যাক অতি সাধারণ একটা উপপাদ্য দিয়ে। আমি এই উপপাদ্যটা ষষ্ঠ শ্রেণীতে পড়েছিলাম, এখন আর প্রমাণ মনে নেই। কিন্তু বিকল্প উপায়ে অতি সহজ একটা প্রমাণ আছে, যা আমাদের তো বটেই, আমাদের বাচ্চাদেরও করতে পারে গণিতমুখী।

আমরা সবাই জানি যে, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ। প্রমাণ? আছে কিছু, কিন্তু সবটাই বিশুদ্ধ জ্যামিতির কচকচি।আমার নিজেরো এখন সেই প্রমাণ মনে নেই, আগেই বলেছি। নতুন একটা চমকপ্রদ প্রমান দেখা যাক।

১)  প্রথমে একটা ত্রিভুজ আকৃতির কাগজ কাটতে হবে। নিচের ছবির মত। এইটাই আমাদের ত্রিভুজ। আমরা এর তিন কোণের সমষ্টি মাপব।

২)  এইবার ত্রিভুজটির উপরের দিক মুড়ে নিচের সাথে মেলান। এখন ত্রিভুজটি একটি ট্রাপিজিয়াম-এ রুপ নিল।

৩)  এখন ট্রাপিজিয়ামটির দুই কোনা ছবির মতো করে মুড়ে দিন।

৪) তাহলে ত্রিভুজটির তিনটি কোনই একসাথে হয়ে গেল। এখন দেখা যাচ্ছে, তিনটি কোণ মিলে একটি সরলকোণ সৃষ্টি করেছে। আর আমরা জানি যে, এক সরলকোন=২সমকোন। তাহলে প্রমান হল যে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ২ সমকোণ।

যদিও সবক্ষেত্রে এইধরনের সরল প্রমাণে কিছু মারাত্মক ভুল থাকে। সেইরকম উদাহরনও পরে দেব। এখন উপরোক্ত প্রমাণের সপক্ষে যুক্তি দেখি। আমাদের ত্রিভুজটি মোড়ানোর ফলে নিচের মতো চিত্র সৃষ্টি হয়,

আমরা এটা স্পষ্ট বুঝতে পারি যে,<DFB+<DFE+<EFC=২ সমকোন। এখন আমাদের দেখাতে হবে যে,

<DFB=<B,<DFE=<A ও <EFC=<C। তাহলেই আমাদের প্রমাণের গাণিতিক ভিত্তি সুদৃঢ় হবে।

BC এর উপর AF লম্ব, এবং M বিন্দু হলো মধ্যবিন্দু, তাই M বিন্দু দিয়ে DE||BC রেখা AB ও AC কে সমদ্বিখন্ডিত করে। এখন ত্রিভুজ ADM ও DFM দিয়ে সহজেই প্রমান করা যায় যে AD=DF। যেহেতু AD=BD, তাই <B=<DFB।

একইভাবে অন্যগুলাও প্রমান করা যায়।

(বিঃদ্রঃ লেখাটি পূর্বে আমার ব্লগ ডট কম এ প্রকাশিত হয়েছিল। এ সিরিজের মজার মজার গাণিতিক ধাঁধার পোস্ট নতুন ভাবে লেখার চেষ্টা করছি। শীঘ্রই নবযুগে তা প্রকাশিত হবে বলে আশা রাখি।)